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例題：（初中數學幾何證明題）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，D為AC的中點，過點A作AE⊥BD于E，交BC于點F，求證：BF=2CF．這是一道求證線段等量關系的題目，題中給出的條件比較多，圖形看起來也不復雜。盡管如此，還是有很多的學生看完此題就不知道怎么辦了。其實這道數學題難度并不大，此題的考查知識點主要就是全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等。在做題時，必須認真看圖，靈活運用有關定理進行分析推理。解決此題的關鍵是作出適當的輔助線，再通過證明三角形全等和相似，即可得到結論。下面，貓哥就與大家一起來解決這道例題吧！證明：過點C作CG⊥AF，交AF的延長線于點G，∵AE⊥BD，∠BAC=90°，∴∠ABE ∠BAE=∠BAE ∠CAG=90°，∴∠ABE=∠CAG，在△ABE與△CAG中，∠ABE＝∠CAG，∠AEB＝∠CGA，AB＝AC，∴△ABE≌△CAG（AAS），∴BE=AG，AE=CG，∵BD⊥AG，CG⊥AG，∴DE∥CG，∵D為AC的中點，∴AE=EG，∴BE=AG=2AE=2CG，∵DE∥CG，∴∠BEF＝∠CGF，∠EBF＝∠GCF，∴△BEF∽△CGF，∴BF//CF=BE//CG=2，∴BF=2CF．（完畢）

數學，能帶給我們什么？考取高分父母滿意的笑容？解題成功瞬間的快感？這些套用公式的計算只是符號與數字之間的轉換，而非數學本身。真正的數學，是一種思維模式，是一門魅力無窮的學問。透過加減乘除自然數，我們還能看到什么？數學不是死板的，而是數量、結構、變化、規律、空間之美。每一個公式、每一條定律的誕生絕非偶然，在它們背后還隱藏著怎樣的規律與奧秘？來聽聽阿瑟·本杰明在TED演講里怎么說。演講全文那么為什么我們學數學？基本上，有三個原因：計算，應用和最后，不幸的是，最少在我們給予它的時候，靈感。我們為什么要學數學？根本原因有三個：計算，應用，最后一個，很不幸的從時間分配來看也是最少的，激發靈感。數學是模式的科學，我們研究它來學習如何在邏輯上，批判性和創造性地思考，但是我們在學校學到的數學太多并沒有有效的動機.當我們的學生問：“我們為什么學習這個？”/ 那么他們經常聽到他們會在即將到來的數學課或未來考試中需要它。/ 數學是研究規律的科學，我們通過學數學來訓練邏輯思維能力，思辯能力以及創造力，但是我們在學校里面學到的數學，根本沒有激起我們的興趣每當我們的學生問起“我們為什么要學這個？“他們得到的答案往往是考試要考，或者后續的數學課程中要用到。但是，如果每一次我們做數學只是因為它是有趣或美麗的，還是因為它激發了心靈，那不是很好嗎？現在，我知道很多人沒有機會看到如何發生，所以讓我給你一個快速的例子，我最喜歡的數字集合，斐波納契數字。/ 有沒有可能，哪怕只有那么一小會兒，我們研究數學僅僅是因為自己的興趣，或是數學的優美，那豈不是很棒？現在我知道很多人一直沒有機會來體驗這一點，所以現在我們就來體驗一下，以我最喜歡的數列 - 斐波納契數列為例。是啊！我已經有斐波納契粉絲了，那很棒。太好了！看來在座的也有喜歡斐波納契的。現在這些數字可以通過許多不同的方式來欣賞。從計算的角度來看，它們是一個容易理解的一個加一，這是兩個。那么一加二是三，二加三是五，三加五是八，等等。/ 非常好，我們可以從多種不同的角度來欣賞斐波納契序列。從計算的角度，斐波納契數列很容易被理解1加1等于2；1加2等于3；2加3等于5；3加5等于8以此類推。事實上，我們稱之為斐波納契的人實際上是比薩的名叫萊昂納多，這些數字出現在他的“Liber Abaci”一書中，該書“西方世界”教授了我們今天使用的算術方法。在應用方面，斐波納契數字在自然界中經常出現。花上的花瓣數通常是斐波那契數，或向日葵或菠蘿中的螺旋數也往往是斐波納契數。事實上，那個我們稱呼“斐波納契”的人真實的名字叫列昂納多，來自比薩，這個數列出自己的書“算盤寶典”（“Liber Abaci”）這本書奠定了西方世界的數學基礎，其中的算術方法一直沿用至今。從應用的角度來看，斐波納契數列在自然界中經常神奇的出現。一朵花的花瓣數量一般是一個斐波納契數，向日葵的螺旋，菠蘿表面的凸起也都對應著某個斐波納契數。事實上，斐波納契數字還有更多的應用，但是我發現最令人激動的是他們顯示的美麗數字模式。讓我告訴你我最喜歡的一個。假設你喜歡平方數，坦白說，誰不？事實上還有很多斐波納契數的應用實例，而我發現這其中最能給人啟發的是這些數字呈現出來的漂亮模式。讓我們看下我最喜歡的一個。假設你喜歡計算數的平方。坦白說，誰不喜歡？讓我們先看幾首斐波納契數字的正方形。所以一平方為一，二平方為四，三平方為九，五平方為二十五等。現在，當您添加連續的斐波納契數字時，您將獲得下一個斐波納契數字，這并不奇怪。對？/ 讓我們計算一下頭幾個斐波那契數的平方。1的平方是1,2的平方是4,3的平方是9,5的平方是25，以此類推。毫不意外的，當你加上兩個連續的斐波那契數字時，你得到了下一個斐波那契數，沒錯吧？這就是他們的創建方式。但是，當您將正方形加在一起時，您不會期待任何特殊的事情發生。但請檢查一下。一加一給我們兩個，一加四給我們五個。而四加九是13，九加25是34，是的，模式繼續。它就是這么定義的。但是你不知道把斐波那契數的平方加起來會得到什么有意思的結果。來嘗試一下。1加1是2,1加4是5,4加9是13,9加25是34，沒錯，還是這個規律。其實這是另外一個。假設你想看看添加前幾個斐波納契數字的平方。讓我們看看我們到那里去/ 所以一加一加四是六。添加九個，我們得到15.添加25，我們得到40.添加64，我們得到104.現在看看這些數字。那些不是斐波納契數字，但是如果仔細觀察它們，你會看到它們中埋有的斐波納契數字。事實上，還有一個規律。假如你想計算一下頭幾個斐波納契數的平方和，看看結果是什么。1加1加4是6，再加上9，得到如圖15所示，再加上25，得到40，再加上64，得到104回頭來看看這些數字。他們不是斐波納契數，但是如果你看得夠仔細，你能看到他們的背后隱藏著的斐波納契數。/ 你看到嗎/ 我會告訴你的。六是三次三次，十五次三次五次，四次五次八次，二次，三次，五次，八次，我們感激嗎？斐波那契！當然。看到了么？讓我寫給你看。6等于2乘3,15等于3乘5,40等于5乘8,2,3,5,8，我們看到了什么？（笑聲）斐波納契！當然，當然。現在，盡可能多地發現這些模式，理解為什么它們是真實的，甚至更令人滿意。我們來看看最后一個方程。為什么一，二，三，五，八號的廣場加起來是八倍？我會通過繪制一張簡單的圖片告訴你。我們將從一個一個的廣場開始，旁邊又是一個一個廣場。它們一起形成一個一個二的矩形。在這之下，我會把一個兩平方米的廣場，旁邊是一個三點三平方的廣場，五平方米，然后是八八平方，創造了一個巨大的矩形，對吧？現在我們已經發現了這些好玩的模式，更能滿足你們好奇心的事情是弄清楚背后的原因讓我們看看最后這個等式為什么1，1，2，3，5和8的平方加起來等于8乘以13？我通過一個簡單的圖形來解釋。首先我們畫一個1乘1的方塊，然后再在旁邊放一個相同尺寸的方塊。拼起來之后得到了一個1乘2的矩形。在這個下面再放一個2乘2的方塊，之后貼著再放一個3乘3的方塊，然后再在下面放一個5乘5的矩形，之后是一個8乘8的方塊。得到了一個大的矩形，對吧？現在讓我問一個簡單的問題：矩形的區域是什么？那么一方面，它是廣場內的總和，對吧？就像我們創造的一樣。一平方加一平方加二平方加三平方加五平方加八平方。對？這是該地區。另一方面，由于它是一個矩形，它的高度等于其基數，高度明顯為8，基數為5加8，這是下一個斐波那契數，13。所以該地區也是八倍13.因為我們已經正確地計算了兩個方面的區域，所以它們必須是相同的數字，這就是為什么一，二，三，五和八的平方加起來時間13。現在問大家一個簡單的問題：這個矩形的面積是多少？一方面，它的面積就是組成它的小矩形的面積之和，對吧？就是我們用到的矩形之和它的面積是1的平方加上1的平方加上2的平方加3的平方加上5的平方加上8的平方。對吧？這就是面積。另一方面，因為這是矩形，面積就等于長乘高，高等于8，長是5加8，也是一個斐波納契數，13，是不是？所以面積就是8乘13.因為我們用兩種不同的方式計算面積，同樣一個矩形的面積一定是一樣的，這樣就是為什么1，1，2，3，5，8的平方和，等于8乘13。現在，如果我們繼續這個過程，我們將生成13，21，21，34等矩形，等等。現在檢查一下。如果你把13除以8，你會得到1.625。而如果您將較大的數字除以較小的數字，那么這些比率會越來越接近1.618，許多人都將其稱為黃金比例，這個數字使數學家，科學家和藝術家幾個世紀都迷住了。如果我們繼續探索下去，我們會得到13乘21的矩形，21乘34的矩形，以此類推。再來看看這個。如果你用8去除13，結果是1.625如果用大的斐波納契數除以前一個小的斐波納契數他們的比例會越來越接近1.618，這就是很多人知道的黃金分割率，一個幾個世紀以來，讓無數數學家，科學家和藝術家都非常著迷的數字。現在，我把這一切告訴你，因為像數學這么多，有一個美麗的一面，我害怕在我們學校沒有得到足夠的關注。我們花費大量時間了解計算，但不要忘記應用程序，也可能是所有的最重要的應用程序，學習如何思考。我之所以向你們展示這些是因為，很多這樣的數學（知識），都有其秒不可言的一面而我擔心這一面并沒有在學校里得到展現。我們花了很多時間去學算術，但是請不要忘記數學在實際中的應用，包括可能是最重要的一種應用形式，學會如何思考。如果我可以在一句話中總結一下，那就是這樣的：數學不僅僅是解決x，而且還在弄清楚為什么。把我今天所說的濃縮成一句，那就是：數學，不只是求出X等于多少，還要能指出為什么。

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